Тунельные и барьерные эффекты

Тунельные и барьерные эффекты

Московский Педагогический Государственный Университет

Курсовая работа по квантовой механике на тему:

Туннельные и барьерные эффекты.

Приняла:

Выполнила:

студентка 4-го курса 1-ой группы

физического факультета

Москва 2004 год.

Введение

ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ (туннелирование) — квантовый переход системы через

область движения, запрещённую классической механикой. Типичный пример

такого процесса— прохождение частицы через потенциальный барьер, когда её

энергия Е меньше высоты барьера. Импульс частицы р в этом случае,

определяемый из соотношения [pic], где U(x)— потенциальная. энергия частицы

(т — масса), был бы в области внутри барьера, Е х0 , в которых U0,

или в противоположном направлении, если начальный импульс р < 0.

Допустим, что частица движется слева, имея полную энергию Е, меньшую U

т. Тогда в некоторой точке xt потенциальная энергия U (х1)=Е, p(x1)=0,

частица остановится. Вся ее энергия обратится в потенциальную, и движение

начнется в обратном порядке: х1 есть точка поворота. Поэтому при E х0 Подобным же образом, если

частица движется справа налево, имея Е < Um , то она не проникнет в

область за второй точкой поворота х2,

|[pic] |[pic] |

|Рис. 1.1. Потенциальный барьер в |Рис. 1.2. Самый простой потенциальный |

|одном измерении. |барьер |

в которой U(x2)=E (рис.1). Таким образом, потенциальный барьер

является «непрозрачной» перегородкой для всех частиц, энергия которых

меньше Um (напротив, он «прозрачен» для частиц, обладающих энергией Е >Um).

Этим и разъясняется название «потенциальный барьер».

Совсем иначе протекают явления вблизи потенциальных барьеров,

если речь идет о движениях микроскопических частиц в микроскопических

полях, т. е. о движениях, при рассмотрении которых нельзя игнорировать

квантовые эффекты. В этом случае, как мы сейчас увидим, в противоположность

выводам классической механики, частицы с энергией Е, большей высоты

барьера Um, частично отражаются от барьера, а частицы с энергией,

меньшей Um, частично проникают через барьер.

Для того чтобы в этом убедиться, мы рассмотрим совсем простой случай

барьера, изображенный на рис. 2. Именно, мы будем считать, что

потенциальная энергия частицы U (х) всюду равна нулю, кроме области 0 ? Х

? l, где она имеет постоянное значение, равное Um. Такой барьер

представляет собой, конечно, идеализацию, но на нем, особенно просто можно

проследить интересующие нас стороны проблемы. Мы можем себе представить,

что такой прямоугольный барьер возникает путем непрерывной деформации

плавного барьера, изображенного на рис. 1.

Будем искать стационарные состояния частицы, движущейся в поле такого

барьера. Обозначая потенциальную энергию через U (х), мы получим уравнение

Щредингера в виде

[pic](3)

Обозначая в дальнейшем дифференцирование по х штрихом и вводя

оптические обозначения

[pic](4)

где п (х) — показатель преломления, мы перепишем уравнение (3) в

виде

[pic] (5)

Уравнение (94.5) распадается на три уравнения для трех областей

пространства:

(5'), (5"), (5'")

Решения в этих областях могут быть записаны сразу:

(96.6)

(6), (6'), (6")

где А, В, ?, ?, a и b — произвольные постоянные. Однако это — общие

решения трех независимых уравнений (5), (5'), (5") и они, вообще говоря, не

образуют какой-либо одной волновой функции, описывающей состояние частицы,

движущейся в силовом поле U (х). Для того чтобы они давали действительно

одну функцию ? (х), мы должны соблюсти краевые условия, которые мы сейчас

установим.

Для этого будем рассматривать U (х) и, следовательно, п (х) как

плавную функцию х. Интегрируя тогда уравнение (5) около точки х = 0,

получим

[pic]

Отсюда

(7 (7)

Переходя к пределу[pic]получаем краевое условие

[pic] (7')

Далее, согласно общему требованию о непрерывности волновых функций,

имеем второе краевое условие

[pic] (7")

Точка х = 0 ничем не выделена, поэтому условия (7') и (7") должны быть

соблюдены в любой точке, в частности, и при х = 1.

Чтобы решение (6) трех уравнений (5) можно было рассматривать как

предел решения одного уравнения при переходе от плавного изменения U (х) к

скачкообразному, нужно, чтобы эти решения в точках х = 0 и х = 1

удовлетворяли краевым условиям (7') и (7"), т. е.

[pic](8)

Подставляя сюда значение функций из (6), получаем

[pic] (9)

Мы имеем четыре уравнения для шести постоянных. Произвол в выборе

постоянных объясняется тем, что могут быть волны, падающие на барьер слева,

а могут быть — падающие на него справа.

Если мы, например, возьмем А, В?0, b = 0, то Aeik0X может

рассматриваться как падающая волна, Be-ik0X —как отраженная, аe-ik0X — как

проходящая. Если бы мы взяли b ? 0, то это означало бы, что есть еще

падающая волна с другой стороны барьера. Эти возможности соответствуют в

классической механике случаям движения частиц к барьеру слева, либо справа.

Мы рассмотрим для определенности случай падения частиц слева. Тогда,

мы должны взять b = 0. Кроме того, без всяких ограничений мы можем принять

амплитуду падающей волны за единицу: А=1. Уравнения (9) принимают тогда вид

' '

[pic] (10)

Из этих алгебраических уравнений находим ?, ?, В и a:)

[pic] (11 ), (12), (13), (14)

Если энергия частицы Е больше высоты барьера Um, то показатель

преломления пт действителен. В этом случае интенсивность отраженной волны |

В| 2 равна

[pic]

а интенсивность проходящей волны

[pic] (15)

Вычислим по формуле для плотности тока поток частиц в падающей волне,

(JQ), отраженной (Jr) и проходящей (Jd ). Получаем:

[pic] (16)

Отношение потока отраженных частиц к потоку падающих

[pic] (17)

называют коэффициентом отражения. Отношение потока проходящих частиц к

потоку падающих

[pic] (18)

называют коэффициентом прозрачности барьера.

Из закона сохранения числа частиц (уравнение непрерывности для тока)

следует, что

[pic] (19)

(приведенные выше выражения для R и D позволяют непосредственно

убедиться в справедливости этого равенства).

По классической механике, если E>Um, должно иметь место R=0, D=1

барьер совершенно прозрачен. Из (15) следует, что | В| 2 ?0 поэтому в

квантовой механике R > О, D < 1. Частицы частью отражаются так же, как

отражаются световые волны

на границе двух сред.

Если энергия частицы Е меньше высоты барьера Um , то по классической

механике имеет место полное отражение D = 0, R=1. При этом частицы совсем

не проникают внутрь барьера. В оптике такой случай отвечает полному

внутреннему отражению. Согласно геометрической оптике лучи света не

проникают во вторую среду.

Более тонкое рассмотрение на основе волновой оптики показывает, что в

действительности световое поле при полном отражении все же проникает в

среду, от которой происходит отражение и если эта среда представляет собой

очень тонкую пластинку, то свет частично проходит через нее. Квантовая

механика в случае Е < Um (случай отражения) приводит к выводу, аналогичному

выводу волновой оптики. Действительно, если E < Um, то показатель

преломления пт является, чисто пт мнимой величиной (см. 4). Поэтому мы

положим

[pic] (20)

Внося это выражение для пт в (14), вычислим теперь |а|2. Тогда,

считая[pic]получаем

[pic] (21)

Обозначая первый дробный множитель через Do (он не очень отличается от

1) и имея в виду значение k6, получаем

[pic] (22)

Таким образом, при EЕ, [pic] это бессмысленно, так как импульс р

есть действительная величина. Как раз эти области, как мы знаем из

классической механики недоступны для частицы. Между тем, согласно квантовой

механике, частица может быть обнаружена и в этой «запретной» области. Таким

образом, получается, будто квантовая механика приводит к выводу, что

кинетическая энергия частицы может быть отрицательной, а импульс частицы

мнимым. Этот вывод и называют парадоксом «туннельного эффекта».

На самом деле здесь нет никакого парадокса, а сам вывод неверен. Дело

в том, что, поскольку туннельный эффект есть явление квантовое (при ? >

0 коэффициент прозрачности D (24) стремится к нулю), постольку он может

обсуждаться лишь в рамках квантовой механики. Полную же энергию частицы

можно

рассматривать как сумму кинетической и потенциальной энергий

только на основе классической механики. Формула [pic]

предполагает, что одновременно знаем величину как кинетической энергии Т,

так и потенциальной U{х). Иными словами, мы приписываем одновременно

определенное значение координате частицы х и ее импульсу р, что

противоречит квантовой механике. Деление полной энергии на потенциальную и

кинетическую

в квантовой механике лишено смысла, а вместе с тем несостоятелен и

парадокс, основанный на возможности представить полную энергию Е как сумму

кинетической энергии (функция импульса) и потенциальной энергии (функция

координат).

Остается лишь посмотреть, не может ли все же оказаться так, что путем

измерения положения частицы мы обнаружим ее внутри потенциального барьера,

в то время как ее полная энергия меньше высоты барьера. I

Обнаружить частицу внутри барьера действительно можно, даже если

E0, так что потенциальная энергия имеет вид,

изображенный на рис. 1. Схематизируя таким образом истинный ход

потенциальной энергии, мы в сущности оперируем со средним полем в металле.

На самой деле, потенциал внутри металла меняется от точки к точке с

периодом, равным постоянной кристаллической решетки. Наше приближение

соответствует гипотезе свободных электронов, так как, поскольку U (х) = О,

внутри металла нет никаких сил, действующих на электрон.

Здесь рассмотрим вопрос о степени правильности такого приближений.

Ограничимся лишь указанием на то, что рассмотрение электронов в металле как

свободно движущихся частиц («электронный газ») позволяет уяснить многие

явления в металлах и поэтому, в определенных рамках, является законным.

Распределение по энергиям электронов этого газа таково, что подавляющее

большинство электронов имеет энергию Е < С (при абсолютном нуле температуры

электроны заполняют все уровни энергии от Е = 0 до Е = ?0 < С где ?0 есть

так нулевая энергия; Поток электронов металла, падающий изнутри металла на

его поверхность, обозначим через Jo. Так как электроны имеют энергию Е < С,

то этот поток полностью отражается от скачка потенциала С, имеющего место

на границе металл — вакуум.

Представим теперь себе, что наложено электрическое поле ?,

направленное к поверхности металла. Тогда к потенциальной энергии электрона

U (х) (рис. 1) добавится потенциальная энергия электрона в постоянном поле

?, равная - е ?х (заряд электрона равен — е). Полная потенциальная энергия

электрона будет тецерь равна

[pic]

(3.1)

Кривая потенциальной энергии примет теперь иной вид. Она изображена на

рис. 1 пунктиром. Заметим, что внутри металла нельзя создать большого поля,

поэтому изменение U (х) произойдет лишь вне металла.

Мы видим, что образуется потенциальный барьер. По классической

механике электрон мог бы пройти через барьер лишь в том случае, если его

энергия Е > С. Таких электронов у нас очень мало (они обусловливают малую

термоионную эмиссию). Поэтому никакого электронного тока по классической

механике при наложении поля получиться не, должно. Однако, если поле ?

достаточно велико, то барьер будет узок, мы будем иметь дело с резким

изменением потенциальной энергии и классическая механика будет неприменима:

электроны будут проходить через потенциальный барьер.

Вычислим коэффициент прозрачности этого барьера для электронов,

имеющих энергию движения по оси ОХ, равную Ех. Согласно (1.24) дело

сводится к вычислению интеграла

[pic]

где хх и х2 — координаты точек поворота. Первая точка поворота есть

(рис. 1), очевидно, х1 = 0, так как для всякой энергии Ех < С

горизонтальная прямая Ех, изображающая значение энергии движения по ОХ,

пересекает кривую потенциальной энергии в точке х = 0. Вторая точка

поворота х2 получится, как видно из чертежа, при

[pic]

отсюда

[pic]

следовательно,

[pic] (3.2)

Введем переменную интегрирования.

[pic]

Тогда мы получим

[pic] (3.3)

Таким образом, коэффициент прозрачности D для электронов, обладающих

энергией движения по оси ОХ, равной Ех, равен

[pic] (3.4)

Коэффициент этот несколько различен для разных Ех, но так как С >

ЕХ, то средний (по энергиям электронов) коэффициент прозрачности будет

иметь вид

[pic] (3.5)

где [pic] и ?0 — константы, зависящие от рода металлов. Ток холодной

эмиссии будет равен

[pic]

Эта зависимость тока от поля вполне подтверждается экспериментами.

§4. Трехмерный потенциальный барьер. Квазнстационарные состояния.

Рассмотрение задачи о прохождении через потенциальный барьер,

отличалось той особенностью, что речь шла о потоке частиц, приходящих из

бесконечности и встречающих на своем пути потенциальный барьер. В

дальнейшем (теория радиоактивного распада, автоионизация атомов) нам

встретятся такие случаи, когда речь будет идти о потоке частиц, выходящих

из некоторой ограниченной области пространства (ядро атома, атом),

окруженной, потенциальным барьером. Пусть сфера с центром в 0 и радиусом r0

(рис. 1,а)

[pic]

Рис.4.1. Потенциальный барьер, ограничивающий замкнутую область (r <

r0)

Есть та поверхность, на которой потенциальная энергия U (r)

принимает максимальное значение, так что для r < r0, U < Um и для r > r0, U

< Um. Соответствующий пример графика U(г) дан на рис. 1, б. Допустим, что

нас интересует прохождение через барьер частиц, первоначально находившихся

внутри него. Соответственно предположению, что частицы, падающие извне,

отсутствуют (нет «бомбардировки»), мы должны взять вне барьера лишь

уходящие волны.

[pic] (4.1)

Это условие мы будем называть условием излучения. Ясно, что

уравнение Шредингера

[pic] (4.2)

в этом случае может иметь лишь нестационарные решения. Действительно,

применим закон сохранения числа частиц к сфере радиуса r:

[pic] (4.3)

Из (4.1) имеем,

[pic](4.4)

и, стало быть,

[pic] (4.5)

т. е. среднее число частиц в объеме сферы V убывает, так что ? не

может гармонически зависеть от времени.

Задачу об истечении частиц из барьера можно решать, исходя из

уравнения (4.2) с начальным условием. таким, что функция ? (r, 0) отлична

от нуля лишь внутри барьера (чтобы выразить тот факт; что при t = 0 частица

находилась внутри барьера). Можно, однако, исходить из другого условия, до

некоторой степени противоположного, именно считать, что истечение частиц

происходит уже давно и значительная часть их уже находится вне барьера.

[pic]

Рис 4.2 Потенциальный барьер, ограничивающий замкнутую область (r <

r1) и имеющий простую прямоугольную форму.

Такой подход к решению мы рассмотрим подробнее. Он удобен тем,

что допускает разделе r и t в уравнении (4.2) Положим сразу

[pic]

При этом величина Е будет комплексной, и ее нельзя рассматривать как

энергию частиц. Положим

[pic] (4.7)

Тогда среднее число частиц в объеме V0, заключенном внутри барьера,

согласно (4.6) и (4.7), будет

[pic]

т. е.

[pic] (4.8)

Величина ? - константа распада. Подстановка (46) в (4.2) дает

[pic](99.9)

Чтобы выяснить принципиальную сторону дела, мы рассмотрим схематичный

пример, взяв форму барьера U (r), изображенную на рис. 4.1. Рассмотрим

далее, для простоты, состояния с орбитальным моментом, равным нулю: / = 0.

Тогда, полагая

[pic](4.10)

мы получим из (4.9)

[pic] (99.11)

Согласно нашему предположению о виде U (г) уравнение (99.11)

разобьется на три;

[pic] (99.12) (99.12")(99.12'):

где:

[pic] (99.13):

Решения этих уравнений имеют вид

[pic](99.14) (99.14') (99.14")

Из условия конечности ? в нуле следует, что

[pic] (99.15)

Кроме того, условие излучения дает b = 0 (только уходящие волны).

Краевые условия на границах r = r 1 и r = r 2, как мы установили в § 1,

сводятся к равенству функций и их первых производных

[pic]

[pic]

(99.16) (99.16’) (99.17)

(99.17')

На этот раз мы имеем четыре однородных уравнения для четырех

коэффициентов A, ?, ?, а. Поэтому необходимо, чтобы определитель ? системы

уравнений (4.16) и (4.17) обращался в нуль. Несложные вычисления дают

[pic] (4.18)

где l означает ширину барьера r2 - r 1 (4.18) есть трансцендентное

уравнение для k. Определим его корни приближенно, считая ql » l. Тогда в

Страницы: 1, 2