реферат бесплатно, курсовые работы
 

Поля и Волны

Поля и Волны

Лекция 7

Плоские электромагнитные

волны

7.1. Понятие волнового процесса.

7.2. Плоские волны в идеальной среде.

7.3. Плоские волны в реальных средах.

7.4.Распространение волнового пакета. Групповая скорость.

7.5. Поляризация ЭМВ.

7.1. Понятие волнового процесса.

Мир, в котором мы живем, - мир волн. Чем характеризуется мир волн,

волновых процессов ?

Волновой процесс имеет следующие характерные признаки:

1. Волновой процесс всегда переносит энергию и импульсы. Нас интересуют

волновые процессы ЭМВ.

1. Конечная скорость всех волновых процессов. В случае ЭМВ - это скорость

света.

1. Независимость волновых процессов друг от друга. В этой комнате

существуют поля самых разных частот, поля р/станций, света и т.д.

1. Волновые процессы, различные по физической природе, описываются одним и

тем же математическим аппаратом.

Под волновым процессом понимают возмущение некоторой величины в

пространстве, перемещающееся с конечной скоростью, переносящее мощность без

переноса вещества.

7.2. Плоская ЭМВ в идеальной среде.

Под плоской ЭМ волной понимают волновой процесс, у которого

составляющие электрического и магнитного полей изменяются в одинаковой фазе

в плоскости перпендикулярной направлению распространения.

( (

(7.2.1.) rot H = j ((a E ( Используем для анализа

( ( ( 1 - е и 2 - е уравнения

(7.2.2.) rot E = - j ((a H ( Максвелла

Источники, создающие плоские волны не входят в эти уравнения. Мы

рассматриваем волновые процессы в дальней зоне, т.е. в пространстве

за пределами

( (

зарядов и токов. Решим уравнения относительно Е и Н.

(

Из уравнения (7.2.1.) выразим Е и подставим в (7.2.2.):

( (

E = ([pic]) rot H

( (

([pic]) rot (rot H) = - j((a H

( ( (

rot rot H = grad div A - (2 H

( ( (

grad div H - (2 H = (2 (a(a H

(

т.к. div H = 0 - четвертое уравнение Максвелла

( (

(2 H + k2 H = 0 однородное волновое ур-е

Гельмгольца (7.2.3.)

k2 = (2(a(a

Точно так же из второго уравнения получаем

(

уравнения для вектора Е:

. (

(2 E + k2 E = 0 - однородное волновое ур-е

Гельмгольца (7.2.4.)

В развернутом виде запишем уравнения:

([pic]) +([pic]) +([pic]) + k2 H = 0 (7.2.5.)

Решать такое уравнение трудно. Предположим, что источник ЭМ колебаний

находится очень далеко от той области, где рассматриваем волны.

r1 ( r2 ( r3

т.к. источник очень далеко, то расстояния до точки можно считать

одинаковым. Из физического смысла задачи, можно утверждать, что изменения

полей по координате y, х нет, т.е.:

[pic]=[pic] = 0

([pic]) + k2 H = 0

(7.2.6.)

Для плоской ЭМВ волновое уравнение упрощается. Решение уравнения:

H(z) = A e - jkz + B e jkz ( в обычной форме

H(z,t) = e ((( (A e - jkz + B e jkz) ( если поле зависит

от времени.

( (

H(z,t) = h ( означает, что поле векторное.

( (

H(z,t) = h [A e (((((((( + B e ((((+(((] (7.2.7.)

Выделим составляющую поля c амплитудой А:

( (

Ha(z,t) = h A e (((((((( - в комплексной форме.

(7.2.8.)

Выделим из комплексного выражения действительную часть:

( (

Haреал(z,t) = Re Ha(z,t) = h A cos((t - kz) (7.2.9.)

Фотография процесса в момент времени t = t1, t = t2. С какой скоростью

перемещается фронт с одинаковой фазой ? Выясним это:

Ф1 = (t1 - kz1 ; Ф2 = (t2 - kz2

(7.2.10.)

Прибор регистрирует одинаковую напряженность, надо потребовать, чтобы Ф1 =

Ф2

(t1 - kz1 = (t2 - kz2

k (z2 - z1) = ( (t2 - t1)

[pic]= Vф - называется фазовой скоростью волны.

k = ( ( (a (a

Vф = [pic]- зависит от свойств среды,

где распространяется ЭМВ.

(0 = 8,85*10 –12 [pic], (0 = 4(*10-7 [pic],

V = 3*108 [pic](7.2.11.)

( - называют пространственную периодичность волнового процесса.

( - это длина пути, которую проходит фронт с одинаковой фазой за период,

или- это есть расстояние, которое проходит фазовый фронт за 1 период.

в т. Z1 Ф1 = (t - kz1

в т. Z2 Ф2 = (t - kz2

Ф1 - Ф2 = 2(

z2 - z1 = [pic]= (

k = [pic] - волновое число

Vф = [pic]= f ( ( если в вакууме, то

Vф = c

Vф = f (

(7.2.12.)

Выясним связь напряженностей Е и Н в ЭМВ:

( (

rot H = j ( (a E

( (

rot E = - j ( (a H

Спроектируем уравнение на оси координат:

. . .

( i j k

rot H = [pic] [pic] [pic]

Hx Hy Hz

-([pic]) = j((a Ex

[pic]= j((a E; [pic]

0 = j((a Ez

(

Ez = 0

-([pic]) = - j((a Hx , 0 = - j((aHz

[pic] = - j ((a Hy , Hz = 0

(7.2.13.)

В ЭМВ отличны от нуля только две составляющие в плоскости ( плоскости

распространения:

-([pic]) = j((aEx

j k Hy = j((a Ey

[pic] (7.2.14.)

Это лишний раз подчеркивает, что сферические волны излучателя в дальней

зоне превращаются в плоские ЭМВ.

( (

Ориентация векторов Е и Н.

( (

Для плоской ЭМВ Е всегда ( Н.

((

Покажем, что величина Е Н = 0:

(( ((

E H = E H cos (E H) = 0

(i Ex + j Ey) (i Hx + j Hy)

ExHx + EyHy = Zc HyHx - ZcHxHy = 0

Ex = Zc Hy ; Ey = - Zc Hx

( (

E ( H всегда в плоской ЭМВ

( (

H = y0 A e (((((((( общая запись

( ( плоской ЭМВ.

H = x0 A Zc e ((((((((

(7.2.15.)

Поскольку в рассматриваемой задаче рассматривается только один источник,

то учитываем только волну с амплитудой А. В пространстве имеются

( (

2 взаимно перпендикулярных поля ( Е и Н). Как определить направление

переноса энергии ?

( ( (

Пср = ([pic]) Re [E (H*]

Итоги: ( (

1. Составляющие Е и Н лежат в плоскости перпендикулярной направлению

распространения и изменяются в фазе (там где max Е там max Н, и наоборот)

1. Отношение [pic]= Zc определенная величина в случае вакуума Zc = 120 (.

Плоская ЭМВ однородная.

1. Амплитуды Е и Н не зависят от поперечных координат.

1. У плоской ЭМВ Ez = 0 , Hz = 0.

7.3. Плоские волны в реальных средах.

Предыдущий анализ относился к идеальным средам. В реальных средах часть

энергии будет теряться в среде, значит амплитуда волны будет убывать.

Любая реальная среда - набор связанных зарядов (диполей), могут быть и

свободные заряды.

Часть энергии переходит в тепло. Количественно опишем процесс.

В реальных средах, при гармонических воздействиях проницаемости величины

комплексные:

( = (`a - j (a``

( = (a` - j (a``

(7.3.1.)

Все рассуждения и результаты сохраняют силы, но параметры (а (а -

комплексные.

Амплитудные соотношения.

С этой целью рассмотрим, что представляет собой волновое число в

реальной среде:

____ _________________

k = ( ( (a(a = ( ( ((a`- j(a``)((a`- j(a``) = ( - j( (7.3.1.)

поскольку величины (а и (а - комплексные, то k - тоже величина

комплексная. К каким последствиям это может привести ? Рассмотрим волновой

процесс:

( ( (

H (z,t) = y0 A e (((((((( = y0 A e (((((((((((( =

(

= y0 A e ( (( e ((((((((

(7.3.3.)

Параметр ( получил название коэффициента затухания. ( - фазовая постоянная

- вещественная часть волнового числа.

Vф = ( / ( в реальных средах [pic] (7.3.4.)

Понятие ( было введено для идеального диэлектрика. Если затухание

мало, то можно выбрать точки, где поля отличаются по фазе на 2( и считать,

что это (. Если затухание очень велико, периодичность процесса теряет

смысл (соленая вода), понятием ( можно пользоваться условно.

Количественная оценка.

Рассмотрим поведение амплитуды в точках:

в т. Z1 ( H(Z1) = A e - ((1

в т. Z2 ( H(Z2) = A e - ((2

Изменение

a = 20 lg ([pic]) = 20 lg ([pic]) =

= 20 lg e (((2- (1( = 20 ( (Z2 - Z1) lg ?

Z2 - Z1 = ?

a = 8,69 ( l [дБ]

(7.3.5.)

во столько раз, пересчитанных в дБ уменьшилась амплитуда поля .

Под глубиной проникновения поля понимают расстояние, на котором

амплитуда поля убывает в е раз

( (

(вектор Е и Н).

Изменение поля Н = A e - ((. На расстоянии равном глубине

проникновения в точке Z = 0, Н1 = А

в т. Z = (0 H2 = A e - ((

[pic]= е = е - (( ; ( (0 = 1

(0 = [pic]

(7.3.6.)

Фазовые соотношения

Воспользуемся понятием “характеристическое сопротивление cреды”

____ ________________

Zc = ( [pic]= ((a` - j(a``/ (a`- j(a``=(Zc( e ((

(7.3.7.)

в реальных средах Zc величина комплексная. Поведение

( (

Е и Н в реальной среде:

( (

H(z,t) = y0 A e - (( e ((((((((

( (

E(z,t) = x0 A Zc e - (( e (((((((( =

(

= x0 A (Zc(e - (( e ((((((( ( (( (7.3.8.)

Модуль характеристического сопротивления означает отношение амплитуд между

электрическим и магнитным полями, а фаза характеристического сопротивления

показывает величину сдвига фаз между

( ( ( (

Е и Н. В реальных средах всегда Е и Н сдвинуты на некоторую величину.

Волновой процесс в реальных средах

Расчет коэффициента затухания и

фазовой постоянной в реальной среде

Проведем расчет для частного случая, широко используемого на практике.

Реальная cреда не магнитный диэлектрик.

(a = (a`- j(a`` ; (a = (a`- j0 = ((

(7.3.9.)

(почва, вода)

Порядок расчета:

1) Из общих выражений для k:

____________

k = ( - j( = ( ( ((a`- j(a``) (a`

(7.3.10.)

Выделим вещественную и мнимую часть. Для этого левую и правую часть

возведем в квадрат, т.к. надо избавиться от радикалов:

(2 - 2 j(( - (2 = (2(a`(a ` - j(2(a``(a`

Два комплексных числа тогда равны, когда равны и вещественные и мнимые

части.

( (2 - (2 = (2 (a`(a`

(

( 2( ( = (2 (a``(a`

(2 (a`(a` = q - обозначим

(2 (a``(a` = (2 (a`(a [pic]= q tg (

[pic]= tg (

(7.3.11)

( (2 - (2 = q ; ( = [pic]

(

( 2( ( = q tg(

(2 - ([pic]) tg2( - q = 0

(4 - q(2 - ([pic]) tg2( = 0

(2 = [pic]

Какой знак взять + или - ?

Исходя из физического смысла оставляем только +, т.к. ( - будет

отрицательная.

(2 = [pic](1 + ( 1 + tg2()

( = ( ( [pic](( 1 + tg2( + 1) (7.3.12)

для ( решение аналогичное:

( = ([pic] (7.3.13)

Выводы:

1. По определению Vф = [pic]

Vф = [pic]

tg ( = [pic]

Vф зависит от частоты. Встретились с явлением дисперсии. Зависимость Vф от

f называется дисперсией. Идеальная среда не обладает дисперсией.

( = 0 - идеальная среда

( ( 0 - реальная

Рассмотрим поведение ЭМВ в двух случаях:

1) Среда с малыми потерями, малым затуханием:

tg ( tg( , тем > (.

(7.3.15)

2) Среда с большими потерями.

tg ( >> 1

( = ( [pic]tg(

( = (

( = ( = ([pic]

tg ( = [pic]

( = ( = [pic]

(7.3.16.)

(0 = [pic]

Пример:

Определить во сколько раз уменьшается амплитуда волны на расстоянии равном

длине волны (в среде с большими потерями).

e (( = e(( = e ((((((( = e (( = 540 раз

7.4. Групповая скорость плоских волн

Все реальные сообщения занимают определенный спектр частот и возникает

вопрос, какой реальный сигнал передается ?

(

(

(1 (2 (3

В реальных средах, каждая гармоническая составляющая передается со

своей скоростью (1 (2 (3. С какой скоростью передается сигнал ?

Рассмотрим простой случай, когда сообщение состоит из двух

гармонических сигналов:

(1 = A cos ((1t - k1 Z)

(2 = A cos ((2t - k2 Z)

(7.4.1.)

Рассмотрим сложение двух сигналов:

( = (1 + (2 = A [cos ((1t - k1 Z) + cos ((2t - k2Z)]

( = 2A cos (((1 -[pic]) t - (k1 -[pic]) Z) *

*cos (((1 +[pic]) t - (k1 +[pic]) Z)

[pic]= ( ( [pic] = (0

[pic]= ( k [pic]= k0

( ( < c

Vф связана с изменением состояния, а не с переносом энергии.

Vф - скорость изменения состояния фазового фронта.

Пример: Лампочки последовательно загораются,

изменение скорости состояния загорания может сколько угодно большой.

7.5. Поляризация плоских электромагнитных волн

Под поляризацией будем понимать заданную в

( (

пространстве ориентацию вектора Е или Н. Различают 3 вида поляризации:

линейную (вектор Е и Н ориентирован всегда вдоль одной

линии прямой),

( (

круговую поляризация (вектор Е или Н вращается по кругу), эллиптическую

поляризация (вектор Е или Н вращается по эллипсу).

Возьмем два ортогональных колебания:

Ех = А cos ((t - kz)

Ey = B cos ((t - kz + () (7.5.1.)

( - показывает сдвиг во времени, они не совпадают по фазе.

Что получится в результате сложения двух ортогональных колебаний ?

1) А ( В амплитуды разные, а сдвиг фаз равен 0.

y (( = 0)

_____ ___________

в E = ( E2x + E2y = ( A2 + B2 cos ((t-kz)

(

( = arctg [pic]= arctg ([pic])

(7.5.2.)

Сложение двух ортогональных линейно- поляризованных колебаний, изменяющихся

в одной фазе, но с разной амплитудой дает линейно- поляризованное колебание

ориентированное под некоторым углом.

2) А = В ; ( = ( ((/2)

Два ортогональных колебания по определению:

( = arctg ([pic]) = arctg[pic]=

= arctg ( tg ((t - kz) = ( ((t - kz)

Сложение двух ортогональных линейно- поляризованных колебаний изменяющихся

с одинаковой амплитудой и фазой со сдвигом ( (/2 дает вращающее колебание

(колебание с круговой поляризацией).

___________ _____________________________

E =((E2x(+(E2y(=(A2cos2 ((t - kz) + A2sin2 ((t - kz) = A

E = A

Направление вращения определяется опережением или отставанием по фазе.

3) В общем случае, когда А ( В, и фазы разные, вектор

( (

Е или Н вращается по эллипсу.

Любую волну с линейной поляризацией можно представить в виде двух волн с

круговой поляризацией, имеющих разное направление.

1 2 3 4

5

Явление поляризации широко используется на практике. Все приемные

устройства (служебная связь - вертикальная поляризация, в России прием ТВ

на горизонтальную поляризацию, вертикальная поляризация - режим передачи,

горизонтальная - режим приема. Круговая поляризация широко используется в

радиолокации.

-----------------------

r1

r2

r3

y

z

х

М2

М3

М1

источник

z1 z2

z

t=t1

t=t2

НАреал

(z, t)

[pic]

z

? = (

z1

z2

t-соnst

[pic]

[pic][pic]

х

у

z

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

e-(z

z

Н

z

(

y [pic]

x

[pic]

Н

-е-(z

t

(

А Х

Q

[pic]


ИНТЕРЕСНОЕ



© 2009 Все права защищены.