Определение нагрузок на цилиндрические конструкции в потоке

Определение нагрузок на цилиндрические конструкции в потоке

Цилиндрические конструкции подверженные ветровым нагрузкам колеблются в

поперечном направлении (перпендикулярно направлению ветра) из-за

образования вихрей на боковых к ветру сторонах. Результатом является

образование вихревой дорожки называемой дорожкой Кармана. В определенном

диапазоне скоростей ветра и диаметров поперечного сечения цилиндрических

конструкций образование и сход вихрей происходят с постоянным периодом по

времени, следовательно на конструкцию действует периодическая возбуждающая

колебания сила. Когда частота схода вихрей приближается к одной из

собственных частот конструкции возникают резонансные колебания. Из за

изменения скорости ветра и возникновения порывов ветра появляются колебания

по направлению ветра но основной интерес представляют именно поперечные к

ветры колебания. Амплитуда резонансных колебаний будет возрастать до тех

пор пока энергия, рассеиваемая в результате демпфирования не будет равна

энергии поставляемой потоком воздуха. Таким образом конструкции обладающие

слабым демпфированием в большей степени подвержены данному эффекту.

Процесс образования вихрей на боковых по ветру поверхностях

цилиндрических конструкций зависит от чисел Рейнольдса Re. При очень малых

числах Рейнольдса течение в непосредственной близости к поверхности

цилиндра будет мало отличаться от идеального течения и образования вихрей

не будет. При несколько больших значениях (до Re = 40) течение отрывается

от поверхности и образует два симметричных вихря. Выше Re = 40 симметрия

вихрей разрушается и происходит зарождение асимметрического схода вихрей с

противоположных сторон. Диапазон от Re = 150 до 300 является переходным, в

нем течение меняется от ламинарного к турбулентному в области свободных

вихрей сорвавшихся с поверхности цилиндрической конструкции. В этом

диапазоне вихревой след периодичен, но скорость вблизи поверхности меняется

не периодично из-за турбулентности течения. Апериодичность изменения

скорости аргументируется турбулентностью природного ветра. Результатом

таких флуктуаций является то, что амплитуды подъемной или боковой силы

являются в некоторой степени случайными, эта случайность становится более

выраженной с увеличением числа Рейнольдса.

Периодичность вихревого следа характерна для диапазона от Re = 40 до

3*105. При больших числах Рейнольдса течение в пограничном слое на передней

к ветру поверхности изменяется от ламинарного к турбулентному и точка

отрыва вихрей смещается назад по потоку. В результате резко падает

коэффициент лобового сопротивления и след становится более узким и,

вероятно, апериодичным. Следовательно частота схода вихрей и амплитуда

подъемной силы становятся случайными.

Частота, с которой вихри отделяются от поверхности цилиндрической

конструкции, обычно характеризуется безразмерной величиной называемой

числом Струхаля Sh:

[pic]

где n – частота отделения вихрей, d – характерный размер, V – скорость

ветра. Когда сход вихрей является периодичным, n – частота этого схода,

если же сход является случайным необходимо говорить об энергетическом

спектре, а не об одной частоте.

Спектральная плотность боковой силы (цилиндр). Нормализованная

спектральная плотность подъемной силы

[pic]

по аргументу [pic]; [pic]

[pic]

Если использовать Кармановскую спектральную плотность и потребовать

выполнения условия =Ёормировки , то

[pic]

[pic]

[pic]

n – частота на графиках в герцах.

[pic] для больших чисел Re (по Фыну).

В связи с тем, что [pic] задается по частоте в [Гц], в выражении [pic]

после определения передаточной функции нужно перейти к частоте в [Гц]; в

формулу входит [pic].

Основные допущения и уравнение поперечных колебаний прямого стержня. При

выводе уравнений поперечного колебания мы будем предполагать, что в

недеформированном состоянии упругая ось стержня прямолинейна и совпадает с

линией центров тяжести поперечных сечений стержня. Эту прямолинейную ось мы

примем за координатную ось z и от нее будем отсчитывать отклонения

элементов стержня при поперечных колебаниях. При этом будем считать, что

отклонение отдельных точек оси стержня происходят перпендикулярно к

прямолинейному, недеформированному ее направлению, пренебрегая смещениями

этих точек, параллельными оси.

Далее, мы предполагаем, что отклонения точек оси стержня при поперечных

колебаниях происходят в одной плоскости и являются малыми отклонениями в

том смысле, что возникающие при этом восстанавливающие силы остаются в

пределах пропорциональности.

При таких предположениях отклонения точек оси стержня при поперечных

колебаниях однозначно определяются одной функцией двух переменных –

координаты z и времени t:

[pic].

Эта функция удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению в частных

производных четвертого порядка, которое может быть построено следующим

образом.

Обозначим через m(z) массу единицы длины стержня (кг*сек2/см2), через EJ

– жесткость на прогиб [ E (кг/см2) – модуль упругости, J (см4) – момент

инерции поперечного сечения стержня относительно поперечной оси. На

стержень действует распределенная поперечная нагрузка, интенсивность

которой мы обозначим через [pic].

Кинетическая энергия колеблющегося стержня есть кинетическая энергия

поперечных смещений элементов стержня

[pic].

Потенциальная энергия равна сумме двух слагаемых:

а) потенциальной энергии упругой деформации (работа восстанавливающих

упругих сил)

[pic];

б) потенциальная энергия прогиба от поперечной нагрузки [pic]

[pic].

Функционал S Остроградского – Гамильтона имеет здесь вид

[pic]

Уравнение поперечных колебаний стержня мы получим, составив для

функционала S уравнение Эйлера:

.

[pic]

Решение задачи о свободных колебаниях консольно защемленной балки

[pic]

с граничными условиями

при z = 0:

[pic]

консольное защемление

при [pic]:

[pic]

отсутствие перерезывающих сил и моментов на свободном конце;

будет иметь вид:

[pic]

[pic]- для первого тона.

[pic] (1)

примем [pic] (Метод Бубнова-Галеркина)

[pic]

[pic]

[pic]

Тогда: [pic] где [pic]- собственная частота I-ого тона.

Здесь нет демпфирования, введем искусственно конструкционное демпфирование

(как логарифмический декремент, равен 0,005).

[pic]

[pic]

[pic]

[pic] [pic]- случайная функция

[pic][pic]

[pic]

[pic] [pic]

В выражении [pic] величину [pic]

[pic];

[pic]

[pic] [pic]

[pic][pic]

[pic]

Интегрирование от 0 до 100

В величину [pic] частота входит в герцах, поэтому

[pic]

[pic]

Веса единицы объема кожуха(сталь) [pic] и футеровки [pic]

Средняя площадь футеровки [pic] и кожуха тубы [pic]

Погонная масса трубы [pic]

Аппроксимация формы [pic] при [pic], [pic], тогда [pic];

[pic]

[pic]

Тогда [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Независимость q от нормировки f(z) связана с тем, что линейное

дифференциальное уравнение для q зависит от правой части, знаменатель

зависит от второй степени, а числитель от первой степени f(z), т.е.

[pic] (чем больше f(l), тем меньше q при [pic])

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Тогда [pic]

Уравнение для q будет иметь вид:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]