Некоторые характеристики и свойства микрообъектов

измерен импульс. Такая трактовка не очень удачна, так как из нее можно

вывести ложное заключение, что смысл соотношения сводится к ограничениям,

которые оно накладывает на процесс измерения. В этом случае можно

предположить, что микрообъект сам по себе имеет и какой-то импульс и какую-

то координату, но соотношение неопределенностей не позволяет нам измерить

их одновременно.

В действительности же здесь ситуация иная – просто сам микрообъект не может

иметь одновременно и определенную координату, и определенную

соответствующую проекцию импульса; если, например, он находится в состоянии

с определенным значением координаты, то в этом состоянии соответствующая

проекция его импульса оказывается менее определенной. Естественно, что

отсюда вытекает естественная невозможность совместного измерения координат

и импульсов микрообъектов. Это есть следствие специфики микрообъектов, а

отнюдь не какой-либо каприз природы, в силу которого будто бы не все

существующее познаваемо. Следовательно, смысл соотношений не в том, что оно

создает какие-то препятствия на пути познания микроявлений, а в том, что

оно отражает некоторые особенности объективных свойств микрообъектов.

Далее отдельно остановимся на соотношении ?E?t > h. ??ссмотрим несколько

отличающихся друг от друга, хотя и взаимно согласующихся толкования этого

соотношения. Предположим, что микрообъект нестабилен, пусть ?t – время его

жизни в рассматриваемом состоянии. Энергия микрообъекта в данном состоянии

должна иметь неопределенность ??, ??торая связана с временем жизни ?t

рассматриваемым соотношением. В частности, если состояние является

стационарным (?t сколь угодно велико) , то энергия микрообъекта будет точно

определенной (?Е = 0) .

Другое толкование соотношения связано с измерением, преследующем цель

выяснить, находится микрообъект на уровне Е1 или же на уровне Е2. Такое

измерение требует конечного времени Т, зависящего от расстояния между

уровнями (Е2-Е1) : (Е2-Е1) Т > h.

Нетрудно усмотреть связь между этими двумя трактовками. Чтобы разрешить

уровни Е1 и Е2, необходимо, очевидно, чтобы неопределенность энергии

микрообъекта ?Е не превышала расстояния между уровнями: ?Е < (Е2-Е1) . В то

же время длительность измерения Т не должна, очевидно, превышать время

жизни ?t микрообъекта на данном уровне: Т < ?t. Крайние условия, в которых

измерения еще возможны, следовательно, имеют вид ?E Е2-Е1, T ?t.

Соотношения неопределенностей показывают, каким образом следует

пользоваться понятиями энергии, импульса и момента импульса при переходе к

микрообъектам. Здесь обнаруживается весьма важная особенность физики

микрообъектов: энергия, импульс и момент микрообъекта имеют смысл, но с

ограничениями, налагаемыми соотношениями неопределенностей. Как писал

Гейзенберг, “мы не можем интерпретировать процессы в атомарной области так

же, как процессы большого масштаба. Если же мы пользуемся обычными

понятиями, то их применимость ограничивается так называемыми соотношениями

неопределенностей” .

Следует, однако, подчеркнуть, что соотношения неопределенностей отнюдь не

сводятся к указанному ограничению применимости классических понятий

координаты, импульса, энергии и т.д. было бы неправильно не замечать за

“негативным” содержанием соотношений неопределенностей значительного

“позитивного” содержания этих соотношений. Они являются рабочим

инструментом квантовой теории. Отражая специфику физики микрообъектов,

соотношения неопределенностей позволяют весьма простым путем получать

важные оценки.

От явления дифракции микрообъектов к соотношениям неопределенностей.

Рассмотренный путь получения соотношений неопределенностей может показаться

слишком формальным и малоубедительным. Существует разные способы вывода

соотношений неопределенностей. Один из таких способов основан на

рассмотрении явления дифракции микрообъектов.

Предположим (рис. 3) , что на пути строго параллельного пучка микрообъектов

с импульсом р поставлен экран с узкой щелью, ширина которой в направлении

оси х равна d (ось х перпендикулярна исходному направлению пучка) . При

прохождении микрообъектов через щель

Х происходит дифракция. Пусть ? – угол между исходным направлением на

первый ? (основной) дифракционный максимум.

d Классическая волновая теория дает, как известно, следующее соотношение

для этого угла: sin ? = ? / d. ??лагая угол ? достаточно малым, перепишем

указанное соотношение в виде ? ? / d.

Если под величиной ? понимать теперь не ??x длину классической волны, а

волны де Бройля (т.е. волновую характеристику микрообъекта) Р то можно

переписать это соотношение на “корпускулярном” языке: рис. 3 ? h / pd.

Однако как понимать на “корпускулярном” языке сам факт существования угла

?? Очевидно, этот факт означает, что при прохождении через щель микрообъект

приобретает некий импульс ?px в направлении оси х. Легко сообразить, что

?px p?. ??дставляя сюда последнее соотношение, получаем ?px h / d.

Рассматривая затем величину d как неопределенность ?х х-координаты

микрообъекта, проходящего через щель, находим отсюда ?px?v h, ?.е.

фактически приходим к соотношению неопределенностей ?px?x > h. Таким

образом, попытка в какой-то мере фиксировать координату микрообъекта в

направлении, перпендикулярном направлении его движения, приводит к

возникновению неопределенности импульса микрообъекта в указанном

направлении, чем и объясняется наблюдаемое на опыте явления дифракции.

Соотношения неопределенностей и состояния микрообъектов; понятие о полном

наборе физических величин. Для задания состояния классического объекта

надо, как известно, задать определенную совокупность чисел – координаты и

составляющие скорости. При этом, в частности, будут определены и другие

величины: энергия, импульс, момент импульса объекта. соотношения

неопределенностей показывают, что для микрообъектов такой способ задания

состояния неприемлем. Так, например, наличие у микрообъекта определенной

проекции импульса на данное направление означает, что положение

микрообъекта на указанном направлении не может быть предсказано однозначно:

согласно формуле ?px?x > h, соответствующая пространственная координата

характеризуется бесконечно большой неопределенностью. Электрон в атоме

имеет определенную энергию; при этом его координаты характеризуются

неопределенностью порядка линейных размеров атома, что, согласно той же

формуле, приводит к неопределенности проекций импульса электрона, равной

отношению постоянной Планка к линейному размеру атома.

Можно указать следующие принципиальные для квантовой механики положения,

вытекающие из соотношений неопределенностей: а) различные динамические

переменные микрообъекта объединяются в наборы одновременно определенных

(одновременно измеримых) величин, так называемые полные наборы величин; б)

различные состояния микрообъекта объединяются в группы состояний,

отвечающим разным полным наборам величин; каждая такая группа определяет

состояния микрообъекта, в которых объединены величины соответствующего

полного набора (принято говорить, что каждому полному набору соответствует

свой способ задания состояний) .

Укажем примеры полных наборов, используемых для задания состояний,

например, электрона и фотона. Каждый из наборов включает четыре величины (в

связи с этим говорят, что микрообъект имеет четыре степени свободы) . Для

описания состояний электрона используют следующие наборы: x, y, z, ?, ?px,

?py, ?pz, ?, E, l, m, ? (??помним, что l, m, ? – ?оответственно

орбитальное, магнитное и спиновое квантовые числа) . Подчеркнем, что

координаты и составляющие импульса микрообъекта (в данном случае электрона)

попадают в разные полные наборы величин; указанные физические величины

одновременно неизмеримы. Именно поэтому классические соотношения E = p2/2m

+ U(r) , M = (r . p) не работают при переходе к микрообъектам; ведь в

каждое из этих соотношений входит и координата, и импульс.

Второй из перечисленных наборов используют, в частности, для описания

состояний, свободно движущегося электрона; при этом оказывается

определенной также и энергия электрона: E = (px2 + py2 + pz2) / 2m. Третий

набор используют обычно для описания состояний электрона в атоме.

Для описания состояний фотона используют чаще всего следующие наборы: kx,

ky, kz, ?, E, M2, Mz, P.

Здесь kx, ky, kz – проекции волнового вектора излучения; ? – поляризация

фотона; M2 и Mz – соотвественно квадрат момента и проекция момента фотона;

P – квантовое число, называемое пространственной четностью. Заметим, что

коль скоро определены проекции волнового вектора излучения, то определены и

проекции импульса фотона. Поляризация фотона принимает два значения – в

полном значении с двумя независимыми поляризациями классической волны (так,

например, можно говорить о фотонах, имеющих правую эллиптическую

поляризацию) . Пространственная четность – специфическая характеристика

микрообъекта; она может рассматриваться как интеграл движения, сохранение

которого есть следствие симметрии по отношению к операции отражения в

зеркале. Четность может принимать два значения: Р = 1, -1.

Набор kx, ky, kz, ? ??пользуют для описания состояний фотонов, отвечающим

плоским классическим волнам; при этом оказывается определенной также

энергия фотона (Е = h?) . О состояниях, описываемых этим набором, говорят,

как о k?-состояниях. Набор E, M2, Mz, P ? ??пользуют для описания состояний

фотонов, отвечающим сферическим классическим волнам. Заметим, что подобно

тому, как сферическая волна может быть представлена в виде суперпозиции

плоских волн, состояние фотона, определяемое этим набором, может быть

представлено в виде “суперпозиции” состояний, определяемых набором kx, ky,

kz, ?. ??рно также и противоположное заключение – о представлении плоской

волны в виде суперпозиции сферических волн. Здесь мы коснулись одного из

наиболее важных и тонких аспектов квантомеханического описания материи –

специфики “взаимоотношений” состояний микрообъекта, описываемых разными

полными наборами. Эта специфика отражается в наиболее конструктивном

принципе квантовой механики – принципе суперпозиции состояний.

Соотношения неопределенностей и квантовые переходы. Указанное ранее

основное противоречие квантовых переходов фактически снимается, если

воспользоваться идеей дуализма, а, точнее, соотношениями неопределенностей.

Предположим, что рассматривается переход электрона в атоме с уровня Е1 на

уровень Е2 при поглощении фотона с энергией h? = Е2-Е1. Напомним, что

противоречие перехода было связано с выяснением вопроса о том, что именно

происходит сначала: поглощение фотона или переход электрона. легко видеть,

что теперь этот вопрос попросту теряет смысл. Действительно, если до и

после взаимодействия с излучением мы имеем связанный электрон с энергией

соответственно Е1 и Е2, то во время взаимодействия с излучением получаем

единую квантомеханическую систему, включающее в себя и электрон, и

излучение. Эта система существует конечное время (пока происходит

взаимодействие с излучением) и, согласно соотношению ?E?t > h, ?? может

иметь какой-либо определенной энергии. Поэтому нет смысла выяснять, что

именно в подробностях происходит в такой системе. Во время взаимодействия

электронов с фотонами нет, строго говоря, ни электронов, ни фотонов, а есть

нечто единое целое, которое и следует рассматривать как единое целое – без

уточнения деталей. Этот пример показывает, что в квантовой механике нельзя

бесконечно детализировать во времени физический процесс. Вопрос: что

происходит после чего? – не всегда можно ставить в отношении микроявлений.

Соотношение неопределенностей “число фотонов – фаза” . Используемые в

квантовой теории соотношение неопределенностей отнюдь не исчерпываются

вышеприведенными соотношениями. В качестве еще одного такого соотношения

укажем соотношения неопределенностей для числа фотонов и фазы волны.

Пусть имеется монохроматическое излучение частотой ?. С одной стороны, оно

может рассматриваться как коллектив фотонов, каждый из которых имеет

энергию h?; с другой стороны – как классическая электромагнитная волна.

Пусть N – число фотонов в рассматриваемом объеме, Ф = ?t – фаза

классической волны. Корпускулярная характеристика излучения (число фотонов

N) и волновая характеристика (фаза Ф) не могут иметь одновременно

определенные значения; существует соотношения неопределенностей ?N?? > 1.

Чтобы прийти к этому соотношению, будем исходить из соотношения

неопределенности для энергии и времени. Напомним, что для измерения энергии

квантового объема ?? ??до затратить время ?t > h / ?E. ??ли в качестве

квантового объекта рассматривается коллектив фотонов, то в этом случае ?E =

h?N?, ??е ?N – неопределенность числа фотонов. В течение времени ?t,

необходимого для измерения энергии объекта с точностью до h?N?, ??за Ф

объекта изменится на величину ?Ф = ??t. ??дставляя сюда соотношение ?t > h

/ h??N, ??ходим ?Ф > 1 / ?N, что и требовалось показать.

В соотношении ?N?? > 1 ?тразилось противоречивое единство корпускулярных и

волновых свойств излучения. Неопределенность ?Ф мала, когда ярко выражены

волновые свойства излучения; в этом случае велика плотность фотонов (велико

N) , а следовательно, и неопределенность ?N. С другой стороны,

неопределенность ?N мала, когда в коллективе мало фотонов; в этом случае

ярко выражены корпускулярные свойства излучения, поэтому велика

неопределенность ?Ф.

4. Некоторые результаты, вытекающие из соотношений неопределенностей.

Оценка энергии основного состояния атома водорода. Позволяя довольно

простым путем получать важные оценки, соотношения неопределенностей

оказываются полезным рабочим инструментом квантовой теории.

В качестве первого примера рассмотрим атом водорода в основном состоянии.

Воспользуемся известным классическим выражением для энергии заряженной

частицы, движущейся в кулоновском поле Е = p2 / 2m - e2 / r, где m и е –

соответственно масса и заряд электрона. чтобы использовать это классическое

выражение в квантовой теории, будем рассматривать величины р и r, входящего

в него, как неопределенности соответственно импульса и координаты

электрона. Согласно соотношению ?px?x > h, эти величины связаны друг с

другом. Положим pr h, или проще pr = h. Используя это равенство, исключим r

из формулы. Получим E(p) = p2 / 2m - e2p / h.

Легко убедится, что функция E(p) имеет минимум при некотором значении р=р1;

обозначим его через Е1. Величину Е1 можно рассматривать как оценку энергии

основного состояния атома водорода, а величину r1 = h / p1 – как оценку

линейных размеров атома. (в теории Бора это есть радиус первой орбиты) .

Приравнивая к нулю производную, находим р1 = me2 / h. Отсюда немедленно

получаем искомые оценки: r1 = h2 / me2, E1 = -me4 / 2h2.

Эти оценки полностью совпадают с результатами строгой теории. Конечно, к

такому полному совпадению надо относится в известной мере как к случайному

успеху. Всерьез здесь следует рассматривать лишь порядок величин.

Подчеркнем, что этот порядок, как мы видим, оценивается весьма просто:

достаточно заменить в классическом выражении точными значениями

динамических переменных величинами, характеризующими степень “размытия”

этих переменных, т.е. их неопределенностями, а затем воспользоваться

квантомеханическими соотношениями, связывающими указанные неопределенности.

Оценка энергии нулевых колебаний осциллятора. Будем действовать точно так

же, как и в предыдущем примере. Энергия классического одномерного

гармонического осциллятора описывается выражением E = px2 / 2m + m?2x2 / 2.

Рассматривая px и х как неопределенности импульса и координаты

осциллирующего микрообъекта и пользуясь в качестве соотношения

неопределенностей равенством pxх = h, получаем Е(px) = px2 / 2m + m?2h2 /

2px2 .

Приравнивая к нулю производную, находим величину р0 = m?h, ??и которой

функция Е(px) принимает минимальное значение. Легко убедится, что это

значение равно Е = Е(p0) = h?.

Этот результат весьма интересен. Он показывает, что в квантовой механике

энергия осциллятора не может обратиться в нуль; ее минимальное значение

оказывается порядка h?. Это есть так называемая энергия нулевых колебаний.

Учитывая существование нулевых колебаний, можно прийти, в частности, к

следующему интересному заключению: энергия колебательного движения атомов

кристалла не обращается в не обращается в нуль даже при температуре

абсолютного нуля.

Нулевые колебания иллюстрируют принципиальное общее обстоятельство: нельзя

реализовать микрообъект на “дне потенциальной ямы” , или, иначе говоря,

“микрообъект не может упасть на дно потенциальной ямы” . Этот вывод не

зависит от вида потенциальной ямы, так как является прямым следствием

соотношений неопределенности импульса; в этом случае неопределенность

координаты должна стать сколь угодно большой, что противоречит самому факту

пребывания микрообъекта в потенциальной яме.

Оценка величины “размытия” края полосы оптического поглощения в эффекте

Франца-Келдыша. Суть эффекта, исследованного в 1958 г. Келдышем и

независимо от него Францем, состоит в следующем 6 во внешнем однородном

электрическом поле минимум энергии электронов в зоне проводимости в

полупроводнике смещается вниз по энергетической шкале, что приводит к

“размытию” края основной полосы оптического поглощения (в результате

становится возможным поглощение фотонов, энергия которых меньше ширины

поглощенной зоны) . Характеризующая указанное “размытие” величина

энергетических смещения электронных состояний может быть оценена таким же

методом, каким были получены предыдущие оценки. Воспользуемся классическим

выражением для энергии заряженной частицы в электрическом поле

напряженностью ?: E = px2 / 2m - ?ex.

Здесь m – эффективная масса электрона в зоне проводимости. Рассматривая px

и x как неопределенности импульса и координаты электрона и пользуясь в

качестве соотношений неопределенностей равенством pxx = h, получаем E(px) =

px2 / 2m - ?eh / px.

Далее, как обычно, приравниваем к нулю производную и находим значение р0 =

- ?ehm, ??и котором функция Е(px) достигает минимума: Е0 = 3/2 (?eh) 2 / m

(?eh) 2 / m.

Это выражение как раз и дает оценку величины “размытия” края основной

полосы оптического поглощения в эффекте Франца-Келдыша.

Почему электрон не падает на ядро? Постулируя стационарные состояния,

теория Бора не объяснила, почему все-таки электрон, двигаясь ускоренно, не

излучает и не падает в результате на ядро. Соотношение ?px?x > h объясняет

это обстоятельство. Падение электрона на ядро означало бы, очевидно,

существенное уменьшение неопределенности его координаты: если до падения на

ядро электрон был локализован в пределах атома, т.е. в области

пространства, размеры которого порядка 10-8 см, то после падения на ядро

электрон должен будет локализоваться в области с линейными размерами меньше

10-12 см. Более сильная локализация, как мы знаем, микрообъекта в

пространстве связана с “размытием” его импульса, поэтому при падении на

ядро среднее значение импульса электрона должно возрасти, для чего

требуется затрата энергии. Получается, что нужно усилие отнюдь не для того,

чтобы “удержать” электрон от падения на ядро, а совсем наоборот – нужно

усилие, чтобы заставить электрон локализоваться в пределах ядра.

На примере нулевых колебаний осциллятора отмечалось, что микрообъект в

потенциальной яме всегда имеет отличную от нуля минимальную энергию Е0.

Величина Е0 зависит, в частности, от пространственных размеров ямы (от ее

ширины а, определяющей степень пространственной локализации микрообъекта) .

Учитывая соотношения неопределенностей, легко сообразить, что Е0 h2 / ma2.

Если а уменьшается, то Е0 растет. При достаточно малом а энергия Е0 может

стать больше глубины потенциальной ямы. Ясно, что в такой яме микрообъект

вообще не реализуется.

Падение электрона на ядро соответствует уменьшению ширины потенциальной ямы

от 10-8 до 10-12 см. При этом минимальная энергия должна возрастать – от 10

до 109 эВ (и больше) . В результате минимальная энергия электрона

оказывается на несколько порядков больше энергии связи нуклона в атомном

Страницы: 1, 2, 3, 4