Математическое моделирование физических задач на ЭВМ

Математическое моделирование физических задач на ЭВМ

Министерство народного образования

Приднестровский Государственный Университет

им. Т.Г. Шевченко

Физико-математический факультет

Кафедра общей физики и методики преподавания физики

Кафедра информатики и вычислительной техники

Дипломная работа

Математическое моделирование физических задач на ЭВМ

На примере расчета разветвленных цепей постоянного

тока основанного на использовании законов Кирхгофа

Выполнил:

Студент 506 группы

Коваленко А.С.

Научные руководители:

Кандидат

физико-математических

наук, доцент Цыпишка Д.И.

Кандидат

физико-математических

наук, доцент Брагарь Л.Ф.

Тирасполь, 2000г.

Содержание:

Введение 3

1. Напряжение и ток в электрической цепи 4

2. Резистивный элемент 5

3. Источники 6

Глава 1. Задача анализа разветвленной цепи 7

Глава 2. Пример. Результаты вычислений 9

Глава 3. Методика моделирования 10

1. Линейный граф и матрица соединений 10

2. Уравнения контурных токов 13

3. Алгоритм формирования узловых уравнений 16

Заключение 17

Использованная литература 18

Приложение 19

Введение

Все электротехнические и радиотехнические устройства представляют

собой электромагнитные устройства, главные процессы в которых подчиняются

общим законам электромагнетизма. В любом электромагнитном устройстве

происходит движение электрических зарядов, неразрывно связанное с

изменяющимся во времени и пространстве электромагнитным полем, двумя

сторонами которого являются электрическое и магнитное поля.

Электромагнитные процессы сопровождаются взаимным преобразованием

электромагнитной энергии в другие виды энергии. Точный анализ этих

процессов, описываемых системами уравнений в частных производных

(уравнениями Максвелла), - задача, трудно разрешимая даже в простейших

случаях. Но для инженерных расчетов и проектирования устройств необходим

количественный анализ. Поэтому возникает потребность в приближенных методах

анализа, позволяющих с достаточной степенью точности решать широкий круг

задач. Такие методы дает теория электрических цепей, которая для

характеристики электромагнитных процессов вместо векторных величин теории

поля, зависящих от пространственных координат и времени, вводит

интегральные скалярные величины – ток и напряжение, являющиеся функциями

времени.

Для приближенного учета процессов преобразования электромагнитной

энергии в теории цепей вводят идеальные элементы с выводами или полюсами,

через которые проходит электрический ток. Простейшими идеальными, базисными

элементами являются двухполюсные элементы с двумя полюсами или выводами –

индуктивный, емкостный и резистивный элементы, учитывающие накопление

энергии в магнитном и электрическом полях и необратимое преобразование

электромагнитной энергии в другие виды энергии. Для учета преобразования

энергии неэлектрической природы (химической, механической, тепловой и т.

д.) в электромагнитную энергию вводят элемент с двумя выводами, называемый

источником. Наряду с указанными вводят четырехполюсные и многополюсные

элементы в общем случае с n выводами.

Соединяя между собой соответствующим образом эти идеальные элементы,

получают электрическую цепь, приближенно отображающую электромагнитные

процессы в каком-либо устройстве по отношению к интересующим выводам.

Теория цепей применима к большому числу устройств, в которых

представляют интерес процессы в отдельных точках – выводах.

В настоящее время существуют методы и средства расчета

радиотехнических цепей на основе математических моделей, представляющие

собой в общем случае системы нелинейных дифференциальных уравнений. Одним

из многих таких средств является программа, предложенная в [1], которая

представляет собой реализацию математической модели расчета цепей

постоянного тока. Программа работает следующим образом: пользователь вводит

все данные для расчета цепи, самостоятельно производя анализ цепи, т.е. он

вводит количество узлов, количество ветвей с элементами, находящимися на

них и номиналы этих элементов. Програма решает получающиеся при этом

линейные уравнения и выводит результат вычислений.

Недостатком указанных выше программных средств является отсутствие

автоматизированного построения разветвленных цепей, ввода элементов, выбора

направления обхода контуров и токов в ветвях по введенной принципиальной

схеме. Кроме этого существующие программы не позволяют непосредственно при

расчетах проводить анализ полученных результатов, в динамике изменять

параметры компонентов.

В связи с этим целью дипломной работы является: разработка

математической модели и программы анализа и расчета цепей постоянного тока,

автоматического выбора направления обхода контура и направления токов в

ветвях цепи, и выводить результаты вычислений.

В данной дипломной работе рассматривается метод расчета и анализа

линейных разветвленных цепей содержащих резистивные элементы и источники

ЭДС с постоянными параметрами элементов основанный на использовании законов

Кирхгофа.

1. Напряжение и ток в электрической цепи

Электрический ток и напряжение являются основными величинами,

характеризующими состояние электрических цепей.

Электрический ток в проводниках представляет явление упорядоченного

движения электрических зарядов. Под термином «ток» понимают также

интенсивность или силу тока, измеряемую количеством электрического заряда

q, прошедшего через поперечное сечение проводника в единицу времени:

[pic]

Следовательно, ток представляет собой скорость изменения заряда во

времени. В СИ заряд выражается в кулонах (Кл), время – в секундах (с), ток

– в амперах (А).

Ток как отношение двух скалярных величин является скалярной

алгебраической величиной, знак которой зависит от направления движения

зарядов одного знака, а именно условно принятого положительного заряда. Для

однозначного определения знака тока за положительное направление достаточно

произвольно выбрать одно из двух возможных направлений, которое отмечают

стрелкой (рис. 1.1, а).

[pic]

Если движение положительного заряда происходит в направлении стрелки,

а движение отрицательного заряда—навстречу ей, то ток положителен. При

изменении направления движения зарядов на противоположный ток будет

отрицательным.

Перед началом анализа на всех участках цепи необходимо отметить

положительные направления токов, выбор которых может быть произвольным.

Программа расчета построена так, что за положительное направление тока

принято направление движения «по часовой стрелке».

Прохождение электрического тока или перенос зарядов в цепи связаны с

преобразованием или потреблением энергии. Для определения энергии,

затрачиваемой на перемещение заряда между двумя рассматриваемыми точками

проводника, вводят новую величину – напряжение.

Напряжением называют количество энергии, затрачиваемой на перемещение

единицы заряда из одной точки в другую:

[pic]

где w—энергия.

При измерении энергии в джоулях (Дж) и заряда в кулонах (Кл)

напряжение выражают в вольтах (В).

Напряжение как отношение двух скалярных величин также является

скалярной алгебраической величиной. Для однозначного определения знака

напряжения между двумя выводами рассматриваемого участка цепи одному из

выводов условно приписывают положительную полярность, которую отмечают либо

стрелкой, направленной от вывода, либо знаками «+», «-» (рис. 1.1, б, в).

Напряжение положительно, если его полярность совпадает с выбранной; это

означает, что потенциал вывода со знаком «+», из которого выходит стрелка,

выше потенциала второго вывода.

Перед началом анализа должны быть указаны выбранные положительные

полярности напряжений – только при этом условии возможно однозначное

определение напряжений. В программе по умолчанию каждому источнику ЭДС

приписывают «+» к высшему потенциалу, а «-» – к низшему.

Положительную полярность напряжения выбирают согласованной с выбранным

положительным направлением тока, когда стрелки для тока и напряжения

совпадают или знак «+» полярности напряжения находится в хвосте стрелки,

обозначающей положительное направление тока. При согласованном выборе

полярности, очевидно, достаточно ограничиться указанием только одной

стрелки положительного направления тока.

Для обозначения условно положительной полярности применяют знаки «+»,

«-» у выводов участка цепи.

2. Резистивный элемент

Под резистивным элементом электрической цепи или активным

сопротивлением понимают идеализированный элемент, в котором происходит

только необратимое преобразование электромагнитной энергии в теплоту или

другие виды энергии, а запасание энергии в электрическом и магнитном полях

отсутствует.

По свойствам к этому идеальному элементу довольно близки такие

реальные устройства, как угольные сопротивления, реостаты, лампы

накаливания при относительно небыстрых изменениях токов.

Условное графическое обозначение резистивного элемента Представлено на

рис. 1.2, а, где указаны принятые положительные направления напряжения и

тока.

[pic]

Основное уравнение элемента, связывающее ток и напряжение, так

называемая вольт-амперная характеристика, определяется законом Ома, который

устанавливает пропорциональность между напряжением и током:

U=RI, I=GU (1.3)

Коэффициент пропорциональности в первом выражении (1.3), равный

отношению напряжения и тока, является электрическим сопротивлением:

R=U/I (1.4)

Численно сопротивление равно напряжению на элементе при токе в 1 А.

Значение сопротивления выражается в омах.

Обратная величина – отношение тока к напряжению – представляет собой

электрическую проводимость:

G=I/U=1/R. (1.5)

В теории линейных электрических цепей сопротивление и проводимость

принимают постоянными, не зависящими от тока, напряжения и других величин.

В реальных элементах это допущение, так же как и допущение отсутствия

запасания энергии, выполняется приближенно.

3. Источники

Под источником в теории цепей понимают элемент, питающий цепь

электромагнитной энергией. Эта энергия потребляется пассивными элементами

цепи – запасается в индуктивностях и емкостях и расходуется в активном

сопротивлении.

Напряжения источников, представляющие заданные функции времени,

называют также приложенными к цепи или возбуждающими цепь сигналами.

Примерами реальных источников электромагнитной энергии могут служить

генераторы постоянных, синусоидальных и импульсных сигналов разнообразной

формы, сигналы, получаемые от различного рода датчиков, антенн

радиоприемных устройств и т. д. Эти источники сигналов либо являются

первичными источниками, в которых происходит непосредственное

преобразование энергии неэлектромагнитной природы (механической,

химической, тепловой и т. д.) в электромагнитную энергию, либо получают

питание от первичных источников. Источник является активным элементом.

Для анализа цепей вводят идеализированный источник напряжения, который

учитывает главные свойства реального источника.

Источник напряжения. Под источником напряжения понимают такой элемент

с двумя выводами (полюсами), напряжение между которыми задано в виде

некоторой функции времени независимо от тока, отдаваемого во внешнюю цепь.

а) б)

Рисунок 1.3.

Наиболее часто применяемые условные графические обозначения источника

напряжения представлены на рис. 1.3, а и б, где принятая положительная

полярность напряжения источника указывается либо стрелкой внутри кружочка,

либо большой и малой чертами, малая соответствует знаку «-», а большая -

«+». Поскольку положительную полярность напряжения условились обозначать

знаками «+», «-», для источника напряжения в программе применено

обозначение, показанное на рис. 1.3, б.

Глава 1. Задача анализа разветвленной цепи

Электрическую цепь, приближенно отображающую электромагнитные процессы

в реальном устройстве, составляют путем соответствующего соединения между

собой рассмотренных двухполюсных элементов: сопротивления, индуктивности,

емкости и источников сигнала. В общем случае отдельные элементы, а также

отдельные участки цепи могут соединиться произвольно. В дипломной работе

рассмотрены только соединение сопротивления и источника сигнала, в качестве

которого используют ЭДС.

В результате получается электрическая схема, имеющая определенную

геометрическую конфигурацию. На рис. 4 приложения показан пример схемы

электрической цепи, составленной из нескольких сопротивлений и источников

ЭДС.

Основными понятиями, характеризующими геометрическую конфигурацию

разветвленной цепи, являются ветвь и узел.

Под ветвью в общем случае понимают участок цепи с двумя выводами. Токи

ветви принимают в качестве неизвестных переменных, характеризующих

состояние цепи. Поэтому, что конкретно следует понимать под ветвью, зависит

от выбора переменных цепи. Ветвью можно считать каждый элемент цепи. Но для

уменьшения числа переменных за ветви иногда принимают также участки из

последовательного соединения отдельных элементов, токи которых имеют одно и

то же значение, и участки из параллельного соединения отдельных элементов,

напряжения на которых имеют одно и то же значение. При анализе схемы за

ветвь принимается участок цепи между двумя узлами цепи.

Узел электрической цепи – это точка на схеме, в которой сходятся более

двух ветвей [4]. Например, на рисунке №4 приложения – 4 узла.

Задача анализа электрической цепи формулируется таким образом: Заданы

схема электрической цепи со значениями всех ее элементов, а также

напряжения источников, действующих в цепи. Требуется найти токи ветвей. В

дальнейшем будем применять общие термины, называя заданные напряжения

источников функциями возбуждения или сигналами, а искомые токи ветвей,

определяемые в результате анализа цепи, - реакциями. Следовательно,

требуется найти реакции цепи на действие заданных сигналов.

Выводы – узлы или ветви, реакции которых необходимо найти, - называют

выходными, а выводы, к которым присоединены источники, - входными.

Программа предназначена для анализа любой линейной цепи произвольной

конфигурации с любым конечным числом элементов.

Для определения искомых реакций – токов ветвей в общем случае –

необходимо составить уравнения цепи с помощью двух систем уравнений:

1) уравнений элементов, связывающих ток и напряжение каждого элемента,

а также заданные напряжения. Уравнения элементов не зависят от схемы и

геометрической конфигурации цепи, в которую входят элементы;

2) уравнений соединений, которые определяются только геометрической

конфигурацией и способами соединений ветвей (элементов цепи) и не зависят

от вида и характера элементов. Уравнения соединений устанавливают связи

между токами и напряжениями отдельных элементов, входящих в цепь.

Уравнения соединений составляют па основе двух законов Кирхгофа,

которые связывают токи ветвей, сходящихся в узлах, и напряжения ветвей,

входящих в контуры; контуры представляют замкнутые пути, проходящие

однократно через ряд ветвей и узлов.

Первый закон Кирхгофа, выражающий закон сохранения заряда, дает

уравнение равновесия токов в узле цепи и формулируется так: в любой момент

алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи,

равна нулю:

[pic].

Знак тока определяется выбором положительных направлений токов ветвей;

токам, выходящим из узла, приписывают условно знак «-», а током, входящим в

узел, - знак «+».

Второй закон Кирхгофа, выражающий закон сохранения энергии, дает

уравнение равновесия напряжений в контуре и формулируется следующим

образом: в любой момент алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре

равна нулю

[pic].

Знак напряжения определяется выбором положительных полярностей

напряжений ветвей: если при обходе контура перемещение происходит в сторону

понижения или падения напряжения, то напряжению ветви условно приписывают

знак «+», если в сторону повышения напряжения - знак «-».

Линейные цепи, составленные из элементов одного вида, например

резистивных, описываются системами линейных алгебраических уравнений.

Применяя программу расчета линейных разветвленных электрических схем,

необходимо лишь нарисовать схему, и ввести все значения сопротивлений и

ЭДС. Все остальные преобразования, такие как выбор обхода контура,

направления ЭДС, программа выполнит сама и выдаст конечный результат –

значения токов в ветвях схемы.

Целью настоящей дипломной работы является создание математической

модели и программы работающей по этой модели, позволяющей анализировать и

расчитывать разветвленные электрические цепи постоянного тока, на основе

использования законов Кирхгофа.

На основе проведенного литературного обзора я убедился, что в

настоящее время существуют только программы, которые решают лишь уравнения

созданные при анализе цепи, но не производят анализ самой цепи.

Глава 2. Пример. Результаты вычислений

Задача [3, №1.50]

Дано:

Е1=120В; Е2=60В; Е3=140В;

R1=1Ом; R2=0,5Ом; R3=0,4Ом; R4=R5=R6=3Ом

Найти токи в ветвях.

Ответ задачи: I1=6,8; I2=30,9; I3=24,1; I4=12,6; I5=18,3; I6=5,8.

Схема для задачи:

Эквивалентная схема для программы:

Результат вычисления программы:

Ответ: I1=6,83; I2=30,88; I3=24,05; I4=12,57; I5=18,31; I6=5,74.

Как видно, программа дает более точный результат, чем тот, который

предлагается для проверки правильности решения задачи.

Результаты вычислений выводятся в отдельном окне. (Рисунок №6

приложения).

Глава 3. Методика моделирования

В этой главе излагаются общие методы анализа цепей произвольной

структуры, составленных из двухполюсных резистивных элементов с постоянными

сопротивлениями и ЭДС, использованные для анализа схем в программе. Методы

основаны на составлении уравнений цепи относительно выбранных переменных и

Страницы: 1, 2, 3, 4