| |||||
МЕНЮ
| Курс лекций по физике[pic] [pic] 4) [pic] Криволинейное движение с постоянной скоростью. [pic] Лекция 3. Движение тела, брошенного под углом к горизонту. В качестве сложного движения рассмотрим движение точечной массы брошенной под углом ( к горизонту со скоростью v0. В этом случае точка одновременно движется равномерно со скоростью vox вдоль оси Х и равнозамедленно с начальной скоростью vy вдоль оси У. ( а = g ) Уравнение движения точки имеют вид: x = v0xt, где v0x = v0 cos ? y = v0yt – gt2/2, где v0y = v0 sin ? Для нахождения уравнения траектории движения необходимо из системы уравнений исключить время: [pic] Полученное выражение представляет собой уравнение параболы: [pic] Для нахождения ymax необходимо найти первую производную указанной функции по Х и приравнять ее к нулю, определить вторую производную и исследовать ее знак. Если вторая производная меньше 0, то функция действительно имеет максимум. [pic] Следовательно, у = ymax при x=k/2b т.е. [pic] Все записанное справедливо, если отсутствует или достаточно мало сопротивление среды, в которой движется материальная точка. Таким образом, наибольшая дальность полета в отсутствии сил сопротивления наблюдается при движении тела под углом в 45° к горизонту. Вращательное движение. Другим простейшим видом механического движения является вращательное движение абсолютно твердого тела. При таком движении его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат на одном прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Вращательное движение тела или точки характеризуется углом поворота, угловой скоростью и угловым ускорением. Угол поворота ? - это угол, считанный между двумя последовательными положениями радиуса вектора r, соединяющего тело или материальную точку с осью вращения. Угловая скорость ? - векторная физическая величина, показывающая, как изменяется угол поворота в единицу времени и численно равная первом производной от угла поворота по времени. [pic] Направление вектора ? совпадает с направлением аксиального вектора ??, т.е. такого, который имеет длину численно равную углу ?? в определенном масштабе, а направление совпадающее с осью вращения и определяемое правилом правого винта. При равномерном вращении ? = const. Следовательно ? = ? / t. Равномерное вращение характеризуется периодом вращения Т , т.е. временем, за которое тело делает один полный оборот, круговой частотой ? = 2? / Т, частотой ? = 1/Т и числом оборотов в единицу времени n. Угловая скорость может меняться как по величине, так и по направлению. Векторная величина, характеризующая изменение угловой скорости в единицу времени и численно равная второй производной от угла поворота по времени, называется угловым ускорением: [pic] Если положение и радиус окружности, по которой происходит вращение не изменяется со временем, то ? совпадает по направлению с направлением ? в случае ускоренного вращательного движения и противоположна в случае замедленного вращения. Связь между линейной и угловой скоростью и ускорением. Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости v , которые непрерывно изменяют свое направление и зависят от ? и расстояния r соответствующей точке до оси вращения. Точка, находящаяся на расстоянии r от оси вращения проходит путь ?S = r??. Поделим обе части равенства на ?t: [pic], при ?t 0 получим пределы от левой и правой частей равенства: [pic] Но [pic] Таким образом, чем дальше отстоит точка от оси вращения, тем больше ее линейная скорость. Известно, что [pic] [pic] Откуда [pic] Из написанных формул видно, что a?, an и a растут с увеличением расстояния точек до оси вращения. Формула v = ?r устанавливает связь между модулями векторов v, r, и ?, которые перпендикулярны друг к другу. Т.к. ? | r ,то можно написать v = ??r?sina это ничто иное как модуль векторного произведения. Таким образом v = [ ? r ] Рассмотренные простейшие виды движения твердого тела важны потому, что любое движение твердого тела сводится к ним. Рассмотрим два последовательных положения тела А1 и А2. Из положения А1 в положение А2 тело можно перевести следующим образом: вначале А1 в А1 поступательно. Затем из положения А1 в положение А2 путем поворота на угол ? вокруг произвольной точки 0. Следует отметить, что в вращательному движению применимы все формулы кинематики материальной точки с заменой в них линейных величин на соответствующие угловые. Например: [pic] Колебательное движение. Колебаниями или колебательными движениями являются движения или изменения состояния, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Колебания весьма разнообразны по своей природе: колебания пружинного маятника, качания маятников, колебания струн, вибрации фундаментов, качка корабля, колебания ветвей деревьев и т.д. Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени: положение маятника в часах, Т – период, v = 1/T. При изучении кинематики колебательных движений нас интересуют: - закон, по которое повторяется движение; - время, через которое тело (система) снова приходит к тому же самому состоянию; - наибольшие отклонения, которых достигает движущееся тело и т.д. Изучив эти характеристика колебательного движения, мы можем определить состояние тела (системы) в любой момент времени. Все сложные виды колебательных движений можно свести к простейшим гармоническим колебаниям. Гармоническими колебаниями физической величины a называется процесс изменения ее во времени по закону sin или cos. Например: колебания математического маятника, x = x0cos?t колебания пружинного маятника. Аналогично колебательного движения можно получить, если рассмотреть закон изменения проекции точки, движущейся по окружности на линию, лежащую в плоскости движения точки. Если радиус окружности r, угловая скорость вращения ? , то проекция y = r sin? = r sin?t если было начальное смещение на ?0, y = r sin ( ?t + ?0 ) Аргумент синуса (или cos) наз. фазой. Фаза определяет положение колеблющейся величины в данный момент времени. ?0 – начальная фаза, которая определяет положение точки в начальный момент времени t = 0 y = y0 sin?0 ? - круговая или циклическая частота, т.е. число полных колебаний, которые совершаются за 2? единиц времени: ? = 2?v = 2?/Т где v - частота колебаний, т.е. число полных колебаний за единицу времени; Т - период колебания - наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех величин, характеризующих колебательное движение, т.е. время, за которое совершается полное колебание; у – смещение точки - удаление от положения равновесия в данный момент времени; у0 - амплитуда колебания - (наибольшее значение колеблющейся функции). Вычислим скорость и ускорение точки, совершающей гармоническое колебание: [pic] Знак " – " означает, что ускорение направлено в сторону, противоположную смещению. Изменение y, v, a с течением времени можно представить так: |t |y |v |a | |0 |0 |?y0 |0 | |T/4 |y0 |0 |– ?2 y0 | |T/2 |0 |– ?y0 |0 | |3T/4 |– y0 |0 |?2 y0 | |T |0 |?y0 |0 | Графически эти зависимости имеют вид: Из таблицы и графика следует, что скорость имеет максимальные значения, когда точка проходит положения равновесия, а ускорение максимально в крайних положениях. Сложение колебаний Из теорий гармонического анализа известно, что любую периодическую функцию f(x), имеющую период 2?, можно представить в виде тригонометрического ряда: [pic] где a0, an, bn - коэффициенты этого ряда, определяемые по формулам: [pic] Следовательно, любое сложное колебание можно представить как сумму нескольких простых. Чтобы знать, как зависят параметры сложного колебания от соотношения частот, амплитуд, фаз и направлений слагаемых колебаний, рассмотрим наиболее простые случаи сложения гармонических колебаний. 1. Сложение двух колебаний одного направления. а) сложение 2-х колебаний одинаковой частоты. ?1 = ?2 = ?, Т1 = Т2 = Т Уравнения колебаний отличаются только начальной фазой и амплитудой и имеют вид: [pic] Представим оба колебания в виде векторов амплитуды Х01 и Х02, Сложение векторов выполним графически. Отложим от точки 0 под углом ?1 – вектор Х01, под углом ?2 – вектор Х02. Обе амплитуды вращаются с одинаковой угловой скоростью и против часовой стрелки. Следовательно, угол между амплитудами остается постоянным, равным (?2 – ?1). Вектор Х0 представляет собой гармоническое колебание, происходящее с той же частотой и амплитудой |Х0|= |Х01+ Х02| и начальной фазой ?. Из чертежа [pic] [pic] Само результирующее колебание имеет вид: [pic] Важно заметить, что амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (?2 – ?1) слагаемых колебаний. Она заключена в пределах: [pic] 1) Если разность начальных фаз слагаемых колебаний, равна четному числу ?, ?2 – ?1 = к? , то Х0 = Х01 + Х02, tg ? = tg ?1, ? = ?1, к = 0,1,2, … Колебания однофазные и усиливают друг друга. 2) Если ?2 – ?1 = (2к+1)? , то Х0 = Х01 - Х02 , к = 0,1,2,… следовательно колебания ослабляют друг друга 3) Если Х01 = Х02 , ?1 = ?2 = ? , ?2 = ?1 [pic] Уравнение результирующего колебания имеет вид: [pic][pic] – начальная фаза результирующего колебания. Результирующее колебание гармоническое, отличающееся по фазе от слагаемых колебаний на половину суммы их начальных фаз. При ?1 – ?2 = 2к? , (к = 0,1,2,…) Х0 = 2Х01 – колебания усиливаются. При ?1 – ?2 = (2к + 1)? , (к = 0,1,2,…) Х0 = 0 – колебания гасятся. 2. Биения. Особый интерес представляет сложение колебаний одинакового направления с одинаковыми амплитудами, имеющими (близкие) мало отличающиеся частоты. Результирующее суммарное колебание имеет уравнение: Полученное выражение представляет собой произведение 2-х гармонических сомножителей с частотами [pic] и [pic]. Если ?1 мало отличается от ?2 , то частота [pic] имеет близкие значения к ?1 и ?2 , а частота [pic] – будет очень мала, т.е. [pic] Отсюда следует, что результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое колебательное движение, происходящее с круговой частотой [pic] , периодом [pic] и амплитудой [pic] Причем амплитуда не остается постоянной, а медленно изменяется со временем. Частота изменения амплитуды [pic] , а период амплитуды [pic] [pic] Такие колебания называются биениями. Биения - такие колебания, амплитуда которых периодически возрастает и убывает по закону cos. Максимальная амплитуда наблюдается, если фазы слагаемых колебаний совпадают. Ясли эти колебания находятся в противофазе, то они гасят друг друга. Биения часто встречаются при сложении колебаний и широко используются в радиотехнике. 2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. 1) Рассмотрим движение точки М1, участвующей одновременно в 2-х взаимно перпендикулярных колебаниях, частоты которых ?1 и ?2 равны (?1 = ?2 = ?), амплитуды соответственно а и в. Колебательный процесс в этом случае описывается системой уравнений: [pic] где ? – угол сдвига фаз. Для определения уравнения траектории движения точки из системы уравнений исключим время. Из первого уравнения [pic] Второе уравнение перепишем в виде: [pic] Подставив вместо sin ?t и cos ?t их значения будем иметь уравнение движения [pic] Исследуем некоторые частные случаи. а) при равенстве частот имеет место еще и равенство фаз, т.е. ? = 0. Уравнение траектории имеет вид [pic] Уравнение прямой, проходящей через начало координат под углом ?: [pic] Смещение от начала координат определяется уравнением [pic] Т.к. уравнение слагаемых колебаний имеет вид [pic] Таким образом результирующее движение является гармоническим колебанием. б) составляющая колебания отличается по фазе на ?/2 . Уравнение траектории имеет вид: [pic] отсюда [pic] - эллипс с плоскостями a и b. При равенстве амплитуд траектории представляют собой окружность. 2) При сложении взаимно перпендикулярных колебаний, частоты которых кратны между собой, например ?1 : ?2 = 1/2 , 2/3 и т.д. = m/n , где m и n – целые числа, колеблющееся тело описывает сложные кривые (наз. Фигурами Лисажу), форма которых определяется отношением частот складываемых колебаний, их амплитудой и разностью фаз между ними ?1 : ?2 = 2 : 1 ?1 : ?2 = 3 : 2 ?? = 0 ?? = ? / 2 ?? = 0 ?? = ? / 4 ----------------------- [pic] М(х, у, z) z х у 0 r [pic] A B [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] Х Х Х1 Х2 t Х t t x t х t х [pic] y x в - в а - а y x в - в а - а a в y x y x Страницы: 1, 2 |
ИНТЕРЕСНОЕ | |||
|